Quelques difficultés du structuralisme mathématique
Résumé
Pour le structuralisme mathématique la référence à des objets mathématiques se fait toujours dans le contexte d'une structure : ils ne sont rien de plus que le rôle qu'ils jouent dans cette structure ; simples positions dans celle-ci, ils n'ont pas de composition " interne ", d'identité ou de caractéristiques en dehors d'elle. La vive critique de Russell contre la théorie peanienne des entiers a contribué paradoxalement à l'explicitation d'une conception structuraliste des entiers naturels déjà clairement suggérée par Dedekind. Dans une version modérément éliminative, le structuralisme, en remplaçant les énoncés mathématiques usuels par des implications quantifiées, évite d'introduire une multiplicité d'entités spéciales autres que les ensembles et coupe court à certaines apories philosophiques. Plus radical, le structuralisme du second ordre transforme les énoncés mathématiques en énoncés de logique du second ordre, mais face au problème de la vacuité, il doit ou réintroduire les ensembles ou s'appuyer sur des notions modales problématiques ; et son application à la théorie des ensembles fait particulièrement difficulté. Aujourd'hui certains comme M. Resnik sont plus sensibles à l'intérêt heuristique, méthodologique et philosophique du structuralisme qu'attirés par le projet d'une théorie mathématique globale des structures. Une telle conception semble pouvoir affronter sans incohérence les difficultés liées à l'identité. À ceux qui voient dans celles-ci les conséquences inévitables d'une sémantique référentielle en philosophie des mathématiques, le structuralisme actuel peut aussi opposer, comme le fait S. Shapiro, un nouveau réalisme appuyé sur une théorie axiomatique des structures.
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