Ensuring the boundedness of the core of games with restricted cooperation

Michel Grabisch (1, 2)

1 CES - Centre d'économie de la Sorbonne
2 PSE - Paris School of Economics

The core of a cooperative game on a set of players N is one of the most popular concept of solution. When cooperation is restricted (feasible coalitions form a subcollection F of 2N), the core may become unbounded, which makes it usage questionable in practice. Our proposal is to make the core bounded by turning some of the inequalities defining the core into equalities (additional efficiency constraints). We address the following mathematical problem : can we find a minimal set of inequalities in the core such that, if turned into equalities, the core becomes bounded ? The new core obtained is called the restricted core. We completely solve the question when F is a distributive lattice, introducing also the notion of restricted Weber set. We show that the case of regular set systems amounts more or less to the case of distributive lattices. We also study the case of weakly union-closed systems and give some results for the general case.

Le coeur d'un jeu coopératif sur un ensemble de joueurs N est un des concepts de solution les plus populaires. Quand la coopération est restreinte (l'ensemble des coalitions réalisables F forme une sous-collection de 2N ), le coeur peut être non borné, ce qui rend son usage problématique en pratique. Notre proposition est de rendre le coeur borné en changeant certaines inégalités qui le définissent en égalité (nouvelles contraintes d'efficacité). Nous examinons le problème mathématique suivant : peut-on trouver un ensemble minimal d'inégalités dans le coeur tel que, si on les transforme en égalités, le coeur devient borné ? Le nouveau coeur obtenu s'appelle le coeur restreint. Nous résolvons complètement cette question quand F est un treillis distributif, introduisant également la notion d'ensemble de Wever restreint. Nous montrons que le cas des systèmes d'ensembles réguliers revient plus ou moins au cas des treillis distributifs. Nous étudions aussi le cas des systèmes faiblement clos sous l'intersection et donnons quelques résultats pour le cas général.

Mots clés: Cooperative game; core; restricted cooperation; bounded core; Weber set.

Mots clés: Jeu coopératif; coeur; coopération restreinte; coeur borné; ensemble de Weber.

Domaines: Economies et finances; Méthodes et statistiques; Mathématique discrète [cs.DM]; Recherche opérationnelle [math.OC]

Michel Grabisch. Ensuring the boundedness of the core of games with restricted cooperation. 2010. ⟨halshs-00544134⟩